Генеральной совокупности значений случайной величины»

Методические указания и задания

К контрольным работам студентов

III курса заочного отделения

По арифметике (математической статистике)

Составители: Ваксман К.Г.

Михайлова А.В.

Москва,

2012 г.

Контрольная работа № 11 (№ 13(II) для ЗРФ)

Тема:«Статистическая обработка подборки из генеральной

Совокупы значений случайной величины»

Контрольная работа содержит 5 заданий:

Задание 1: Построение эмпирической функции рассредотачивания и эмпирической функции плотности рассредотачивания случайной величины Генеральной совокупности значений случайной величины» Х

1.1 Разбить подборку на частичные интервалы.

1.2 Вычислить относительные частоты, плотности относительных частот и скопленные относительные частоты.

1.3 Выстроить на рисунке 1 гистограмму скопленных относительных частот и график эмпирической функции рассредотачивания.

1.4 Выстроить на рисунке 2 гистограмму плотности относительных частот и график эмпирической функции плотности рассредотачивания.

Задание 2: Статистические оценки характеристик рассредотачивания случайной величины Генеральной совокупности значений случайной величины». Вычислить оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отличия.

Задание 3: Построение теоретической кривой плотности рассредотачивания и теоретической кривой функции рассредотачивания.

3.1 Сделать предположение о законе рассредотачивания случайной величины по виду графика эмпирической функции плотности рассредотачивания.

3.2 Вычислить значение теоретической функции плотности рассредотачивания посреди каждого частичного интервала, вероятности попадания случайной величины в Генеральной совокупности значений случайной величины» каждый интервал, теоретическую функцию рассредотачивания.

3.3 Нанести приобретенные значения теоретической функции рассредотачивания и теоретической плотности рассредотачивания на картинки 1 и 2 и выстроить надлежащие графики функций.

Задание 4: Проверка догадки о избранном законе рассредотачивания случайной величины по аспекту Пирсона. Взять уровень значимости (n – номер варианта задания) .

Задания 5: Выводы о результатах обработки подборки.

Литература: 1.Гмурман Генеральной совокупности значений случайной величины» В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М. Высшая шк. 2006 г., 2.Колде Я.К. Практикум по теории вероятностей и математической статистике. М. 1991 г.

Номер варианта каждой контрольной работы совпадает с последней цифрой учебного номера студента (номера зачетной книги).

Пример решения контрольной работы № 11 (№ 13 для ЗРФ)

По теме: «Статистическая Генеральной совокупности значений случайной величины» обработка подборки из

генеральной совокупы значений случайной величины»

Огромное количество однородных объектов, подлежащих статистическому исследованию, именуется статистической совокупой. Вся совокупа объектов именуется генеральной совокупой. Ввиду ее огромного объема из нее извлекают подборку объема , отлично представляющую генеральную совокупа.

Цель работы - получение выводов о законе рассредотачивания генеральной совокупы X и ее свойствах на основании исследования Генеральной совокупности значений случайной величины» подборки.

Дан массив чисел , который является подборкой из генеральной совокупы Х случайных чисел (случайной величины Х).

, число значений .

Задание 1. Построение эмпирической функции рассредотачивания и эмпирической плотности рассредотачивания случайной величины Х.

1.1 Разбить подборку на частичные интервалы. Отыскать в данном массиве чисел и . Для удобства вычисления эти значения целенаправлено округлить и Генеральной совокупности значений случайной величины» взять общий интервал , где . На этом интервале находятся все случайные числа .Интервал делим на K равных частичных интервалов. Число K на практике принимают с округлением до целого. Для данного массива . Длина каждого частичного интервала (1.2), .

1.2 Вычислить относительные частоты, плотности относительных частот и скопленные относительные частоты.

Для этого поначалу подсчитаем количество Генеральной совокупности значений случайной величины» чисел данного массива, попавших в i-ый интервал . Относительная частота (аналог вероятности попадания случайной величины Х в i-ый интервал).

(1.3)

Плотность относительных частот (аналог теоретической плотности вероятностей)

(1.4)

Скопленные частоты (аналог значений теоретической функции рассредотачивания вероятностей)

, т.е. (1.5)ит.д.

Каждый интервал будет представлять значение его середины Генеральной совокупности значений случайной величины» . Представим результаты вычисления в таблице.

Таблица 1.

№ интервала Интервалы Подсчет числа значений
0,08 0,02 0,08
0,20 0,05 0,28
0,44 0,11 0,72
•••• •• 0,24 0,06 0,96
0,04 0,01

1.3-1.4. а) Гистограмма скопленных относительных частот и график эмпирической функции рассредотачивания вероятностей (набросок 1)

б) Гистограмма плотности относительных частот и график эмпирической функции плотности рассредотачивания (плотности вероятностей) (набросок 2)

По оси ох откладываем интервалы значений случайной величины Х, по оси у – значения и Генеральной совокупности значений случайной величины» в i-ом интервале(масштабы по оси ох и оу разные). Приобретенные ступенчатые фигуры, соответственно на рис. 1 и рис. 2, именуются гистограммами.

а) На рисунке 1: точки, надлежащие в правой границе i-ого интервала, соединяем плавной линией. Получим график эмпирической функции рассредотачивания вероятностей функции рассредотачивания .

Набросок 2. Гистограмма плотности относительных Генеральной совокупности значений случайной величины» частот . График эмпирической функции плотности рассредотачивания (либо плотности вероятностей). График теоретической функции плотности вероятностей .

Функция рассредотачивания -неубывающая, меняется от 0 до 1.

Возможность попадания подборки в интервал равна разности значений функции рассредотачивания в этих точках.

Площадь, ограниченная всем графиком функции плотности рассредотачивания, равна 1.

По виду графика плотности рассредотачивания вероятностей (в виде колокола) можно Генеральной совокупности значений случайной величины» сделать

предположение, что случайная величина Х распределена по нормальному закону.

Задание 2. Получение статистических оценок характеристик рассредотачивания случайной величины Х. Вычисление оценок математического ожидания (среднего значения), дисперсии и среднеквадратического отличия.

1. Оценкой математического ожидания случайной величины Х является выборочное среднее (2.1)

Математическое ожидание генеральной совокупы .

2. Оценкой дисперсии случайной величины Х является Генеральной совокупности значений случайной величины» выборочная дисперсия

либо (2.2)

Оценка дисперсии .

3. Оценкой среднеквадратического отличия случайной величины Х является выборочное среднеквадратическое отклонение

(2.3)

,

Задание 3. Построение теоретической кривой плотности вероятностей и теоретической кривой функции рассредотачивания.

Мы представили, что случайная величина Х распределена по нормальному закону, при этом математическое ожидание её , среднеквадратическое отклонение .

Функция плотности вероятностей обычного рассредотачивания

(3.1)

Обозначим (3.2), тогда (3.3), где – функция Гаусса. Для её Генеральной совокупности значений случайной величины» значений существует таблица (см. приложение таблица I).При этом . Тогда теоретическая возможность попадания значения случайной величины в i-ый интервал (3.4) (аналог формулы 1.4 ). Теоретические частоты рассчитываются по формуле (3.5) (аналог формулы 1.3 ). Значение теоретической функции рассредотачивания найдём по формуле , т.е. (3.6) (аналог формулы 1.5). По формуле (3.6) найдём значение теоретической функции рассредотачивания в Генеральной совокупности значений случайной величины» конце каждого i-го интервала.

Внесем приобретенные значения в таблицу.

Таблица 2

№ интервала
-2,05 0,049 0,013 0,052 1,3 0,052
-1,0 0,242 0,062 0,248 6,2 0,30
0,04 0,4 0,104 0,426 10,5 0,726
1,08 0,22 0,057 0,228 5,7 0,954
2,13 0,041 0,011 0,044 1,1 0,998

Нанесем приобретенные значения на набросок 1 (в конце каждого i-ого интервала и соединим приобретенные точки) и на набросок 2 (посреди каждого i-ого интервала и соединим приобретенные точки) (используем другие обозначение, _ _ _ _ _).

Сопоставления эмпирических и теоретических кривых Генеральной совокупности значений случайной величины» (они близки) зрительно подтверждает предположение, что случайная величина Х распределена по нормальному закону.

Задание 4. Проверка догадки о обычном рассредотачивании случайной величины Х при помощи аспекта Пирсона. Уровень значимости - это допустимая возможность ошибки отторгнуть верную догадку. .

Делаем по последующему плану:

1. Выдвигаем догадку : случайная величина Х распределена по нормальному закону с и Генеральной совокупности значений случайной величины» .

2. Другая догадка : случайная величина Х не распределена по нормальному закону.

3. Избираем аспект проверки догадки – аспект Пирсона (хи-квадрат) .

4. Вычисляем фактическое значение аспекта Пирсона, при всем этом из таблицы 1, из таблицы 2.

5. По таблице II из приложения находим критичное значение , – уровень значимости, это допустимая возможность ошибки отторгнуть верную догадку, у Генеральной совокупности значений случайной величины» нас .

. Тут – число интервалов, – число характеристик, определяющих проверяемый закон; для обычного закона ( и ). Для данного массива . По таблице II из приложения находим .

6. Строим критичную область , т.е. область значений аспекта , при котором догадка отвергается.

Откладываем фактическое значение . Потому что значение не попало в критичную область, то принимаем догадку .

Задание 5. Вывод.

Была проведена Генеральной совокупности значений случайной величины» статистическая обработка массива чисел , который является подборкой из генеральной совокупы Х.

5.1 Были построены графики эмпирической функции рассредотачивания и эмпирической функции плотности вероятностей.

5.2 По виду графика эмпирической функции плотности вероятностей было изготовлено предположение о обычном законе рассредотачивания генеральной совокупы Х.

5.3 Были определены выборочные среднее значение и среднеквадратическое Генеральной совокупности значений случайной величины» отклонение .

5.4 Исходя из догадки, что генеральная совокупа Х распределена по нормальному закону с параметрами и , были вычислены теоретические значения функции плотности вероятностей и функции рассредотачивания и построены графики и . Была отмечена близость теоретических и эмпирических графиков.

5.5 При помощи аспекта Пирсона была испытана догадка о том, что генеральная совокупа Х распределена по Генеральной совокупности значений случайной величины» нормальному закону. Догадка подтвердилась.

Итак, генеральная совокупа Х, представленная подборкой, распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением .

Варианты контрольной работы № 11 (№ 13 для ЗРФ)

Задание 1: Построение эмпирической функции рассредотачивания и эмпирической функции плотности рассредотачивания случайной величины Х

1.5 Разбить подборку на частичные интервалы.

1.6 Вычислить относительные частоты, плотности относительных частот и скопленные Генеральной совокупности значений случайной величины» относительные частоты.

1.7 Выстроить на рисунке 1 гистограмму скопленных относительных частот и график эмпирической функции рассредотачивания.

1.8 Выстроить на рисунке 2 гистограмму плотности относительных частот и график эмпирической функции плотности рассредотачивания.

Задание 2: Статистические оценки характеристик рассредотачивания случайной величины. Вычислить оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отличия.

Задание 3: Построение теоретической кривой Генеральной совокупности значений случайной величины» плотности рассредотачивания и теоретической кривой функции рассредотачивания.

3.1 Сделать предположение о законе рассредотачивания случайной величины по виду графика эмпирической функции плотности рассредотачивания.

3.2 Вычислить значение теоретической функции плотности рассредотачивания посреди каждого частичного интервала, вероятности попадания случайной величины в каждый интервал, теоретическую функцию рассредотачивания.

3.3 Нанести приобретенные значения теоретической функции рассредотачивания и теоретической плотности Генеральной совокупности значений случайной величины» рассредотачивания на картинки 1 и 2 и выстроить надлежащие графики функций.

Задание 4: Проверка догадки о избранном законе рассредотачивания случайной величины по аспекту Пирсона. Взять уровень значимости (n – номер варианта задания) .

Задания 5: Написать выводы о результатах обработки подборки.

№ вар-та Подборка
0,01 0,2; 17,2; 8,5; 25; 30; 39,8; 14; 8,5; 10,3; 28,2; 15,1; 21,2; 23; 22,8; 12; 25,8; 22,1; 29,2; 30,8; 26,1; 17,1; 18,9; 19,5; 23,1; 23,8
0,01 0,3; 7,1; 19,2; 29,9; 13,5; 5,1; 20,5; 7,8; 14,5; 17,1; 18,4; 16,5; 7,1; 14,2; 22,5; 23,8; 12,5; 19,4; 11,8; 13,6; 7; 14; 17; 23; 15
0,01 2,5; 3; 9,8; 1,5; 4,2; 5; 5,5; 2,7; 0,4; 8,5; 3,1; 4,8; 5,7; 3; 3,5; 1,8; 7,1; 6,5; 4,8; 3,8; 7; 5; 4,2; 6,8; 5,8
0,05 13,5; 17,1; 17; 7; 10; 20; 21; 29,9; 5; 0,5; 9; 15; 22; 25; 23; 14; 19; 13,2; 14,4; 7,5; 8,39; 11,8; 14,5; 15,8; 16,9
0,01 17; 0,6; 5; 9,5; 10; 11,5; 12,5; 10,1; 6; 7,2; 10,2; 19,4; 13,1; 15; 15,8; 14,1; 10,2; 11,7; 8,5; 4,8; 9,1; 10,5; 11,2; 13,1; 10
0,01 8,5; 6,1; 7,2; 4,5; 5,8; 2,3; 3; 0,01; 9,9; 3,5; 3,9; 5; 4,9; 6,3; 5,2; 4,8; 5,6; 4,2; 1,2; 6,2; 7,1; 5,2; 4,3; 6,8; 4,6
0,05 19,6; 9,1; 4,8; 17; 0,2; 2; 5; 6; 6,5; 3,1;8,5; 10; 11; 13; 14,2; 10,5; 11,7; 12,5; 14,6; 4,8; 9,1; 11,3; 15; 9; 10,2
0,01 -3,9; 0,5; 1; 1,5; 3; 2,5; 5,9; 5; 3,2; 1; 1,5; -1; -0,5; -3; 0,5; 1,2; 0,4; -1; -1,5; 0,8; 0,9; 1,2; 3,2; 0,8; 1,2
0,05 16; 17; 15; 0,2; 6,5; 7,2; 8; 18,2; 19; 21; 22; 25; 29,5; 14; 16,2; 17,6; 16,8; 6,5; 14,8; 11; 19,3; 13,5; 22; 21; 15,5
0,01 39,8; 25; 26; 17; 18; 9; 10; 0,5; 1; 8,5; 17,8; 26,1; 29; 18,5; 20; 21; 22; 28; 12,1; 14,2; 15; 18,9; 15; 23; 23,5

Контрольные вопросы по теме

«Статистическая обработка подборки из генеральной


generalnij-plan-gorodskogo-okruga-lobnya-moskovskoj-oblasti-polozheniya-o-territorialnom-planirovanii-stranica-4.html
generalnij-plan-gorodskogo-poseleniya-rzhavki-solnechnogorskogo-municipalnogo-rajona-moskovskoj-oblasti.html
generalnij-plan-karavaevskogo-selskogo-poseleniya-kostromskogo-municipalnogo-rajona-stranica-15.html